Keplers Vermutung

Ist die von Johannes Kepler schon im Jahre 1611 vermutete Anordnung wirklich die kompakteste Schichtung von gleichgroßen Kugeln im Raum?

Gedanken und Überlegungen zur “Kepler´schen Vermutung”. Gesucht wird die dichtest-mögliche Anordnung von identischen Kugeln im dreidimensionalen Raum. Am Ende unserer Überlegungen wird eine überraschend einfache Antwort stehen. Sie ist intuitiv leicht fassbar und unmittelbar einleuchtend. Mit elementarer Klarheit spiegelt sie zudem die schlichte Eleganz der Fragestellung wider.

Vorbemerkungen:
Gegenstand unserer Überlegungen sind unzählig viele, gedachte, identisch große und mathematisch perfekte Kugeln mit dem Mittelpunkt M und dem Radius R. Die Kugeln sind durch ihren Radius und die Lage ihres Mittelpunkts im Raum bereits vollständig beschrieben. Da die Länge des Radius für unsere Überlegungen keine Bedeutung hat, nehmen wir in allen Fällen Einheitskugeln mit dem Radius 1 an. Wir bezeichnen diese im Folgenden als Kugeln  K,  und meinen damit ihre Mittelpunkte, denn um die Kugeln im Raum anzuordnen, genügt es, die Position ihrer Mittelpunkte festzulegen. Damit die Kugeln in verschiedenen Positionen im Raum unterscheidbar werden, versehen wir sie mit einem Index, z.B. K1.   Zur Orientierung und für Positionsangaben verwenden wir ein kartesisches Koordinatensystem, das mit den drei Raumachsen X, Y und Z den Euklidischen Raum aufspannt. Die X-Achse und die Y-Achse liegen in der Ebene E0 auf der wir gedanklich stehen. Wir blicken entlang der Y-Achse auf den Ursprung des Koordinatensystems.  Die X-Achse verläuft demnach vor uns waagerecht von links nach rechts, und die Z-Achse senkrecht von unten nach oben. Alle Richtungs- und Positionsangaben erfolgen (auf Grundlage) aus dieser Perspektive.

Fortsetzung folgt…

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